方法論特殊講義III
回帰不連続デザイン
2023年8月17〜23日
RDDの考え方
比例代表制と多数代表制の投票率の比較
- 比例代表制は投票率を低下する制度だと解釈されてしまう
RDDの考え方
比例代表制と多数代表制の投票率の比較 (架空データ)
- 人口3500で分けてみると…
割当メカニズムの比較
パラメトリック推定の例
\[\widehat{\mbox{Turnout}} = \beta_0 + \beta_1 \mbox{Population} + \rho \mathbf{I}(\mbox{Population} \geq 3500)\]
- \(\rho\) = 制度が投票率に与える効果 (因果効果)
非線形回帰の例 (rdd_data2.csv)
\[\widehat{\mbox{Turnout}} = \beta_0 + \rho \mathbf{I}(\mbox{X} \geq 0) + \beta_1 \mbox{X}\]
非線形回帰の例
\[\widehat{\mbox{Turnout}} = \beta_0 + \rho \mathbf{I}(\mbox{X} \geq 0) + \beta_1 X + \beta_2 X^2\]
非線形回帰の例
\[\widehat{\mbox{Turnout}} = \beta_0 + \rho \mathbf{I}(\mbox{X} \geq 0) + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \beta_3 X^3\]
非線形回帰の例
\[\widehat{\mbox{Turnout}} = \beta_0 + \rho \mathbf{I}(\mbox{X} \geq 0) + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \beta_3 X^3 + \beta_4 X^4\]
非線形回帰の例
\[\widehat{\mbox{Turnout}} = \beta_0 + \rho \mathbf{I}(\mbox{X} \geq 0) + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \dots + \beta_5 X^5\]
非線形回帰の例
\[\widehat{\mbox{Turnout}} = \beta_0 + \rho \mathbf{I}(\mbox{X} \geq 0) + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \dots + \beta_6 X^6\]
非線形回帰の例
\[\widehat{\mbox{Turnout}} = \beta_0 + \rho \mathbf{I}(\mbox{X} \geq 0) + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \dots + \beta_7 X^7\]
非線形回帰の例
\[\widehat{\mbox{Turnout}} = \beta_0 + \rho \mathbf{I}(\mbox{X} \geq 0) + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \dots + \beta_8 X^8\]
非線形回帰の例
\[\widehat{\mbox{Turnout}} = \beta_0 + \rho \mathbf{I}(\mbox{X} \geq 0) + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \dots + \beta_9 X^9\]
非線形回帰の例
\[\widehat{\mbox{Turnout}} = \beta_0 + \rho \mathbf{I}(\mbox{X} \geq 0) + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \dots + \beta_{10} X^{10}\]
推定値の変化
調整済み決定係数の変化
交互作用の例 (rdd_data3.csv)
- 交差項なしの処置効果: 11.730
- 交差項ありの処置効果: 7.173
中心化前の \(\rho\)
\[\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X + \rho \mathbf{I}(X \geq 3) + \gamma X \cdot \mathbf{I}(X \geq 3).\]
中心化後の \(\rho\)
\[\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X^c + \rho \mathbf{I}(X^c \geq 0) + \gamma X \cdot \mathbf{I}(X^c \geq 0).\]
ノン/セミパラメトリック推定法
\(−h \leq X^c \leq h\)範囲内のデータのみ使用
局所平均 (rdd_data2.csv)
\(h = 5\) の場合
局所平均 (rdd_data2.csv)
\(h = 3\) の場合
局所平均 (rdd_data2.csv)
\(h = 1\) の場合
局所平均 (rdd_data2.csv)
バンド幅の調整による因果効果の推定値の変化
局所平均 (rdd_data1.csv)
参考) 選挙制度と投票率の例 (真の因果効果は 5)
- 傾きが緩やかな場合、バイアス小
局所平均 vs. 局所回帰 (rdd_data2.csv)
\(h = 3\) の場合
様々なカーネル関数
局所回帰 & 一様カーネル（\(h = 5\)）
局所回帰 & 一様カーネル（\(h = 3\)）
局所回帰 & 一様カーネル（\(h = 1\)）
バント幅とLATE
IK Optimal Bandwidth
簡単に計算可能な最適バンド幅の一つ (Imbens and Kalyanaraman 2009)
- 他に CCT バンド幅 (Calonico, Cattaneo, and Titiunik 2014)、CV バンド幅 (Ludwig, and Mill 2007) など
\[h_{\text{opt}} = C_K \cdot \Bigg(\frac{2 \hat{\sigma}^2(c) / \hat{f}(c)}{\big(m_{+}^{(2)}(c) - m_{-}^{(2)}(c)\big)^2 + (\hat{r}_{+} + \hat{r}_{-})}\Bigg)^{\frac{1}{5}} \cdot N^{-\frac{1}{5}}\]
アメリカにおける現職効果 (1)
散布図
全ケースの散布図
散布図
区間ごとの平均値の散布図 (点が多い時に便利)
処置効果
現職効果は見られない
頑健性チェック (1)
バンド幅を動かしても推定値は大きく変化しない
頑健性チェック (2)
多項式回帰でも推定値は大きく変化しない (バンド幅は固定)
仮定の確認
強制変数の密度が閾値周辺において連続しているか否かを確認
- 出力される\(p\)値が0.05を下回る場合、閾値周辺において操作が行われている可能性を示唆
- {rdd}の
DCdensity()、または{rddensity}のrddensity()で検定可能
[1] 0.3002424
Manipulation testing using local polynomial density estimation.
Number of obs = 1266
Model = unrestricted
Kernel = triangular
BW method = estimated
VCE method = jackknife
c = 0 Left of c Right of c
Number of obs 479 787
Eff. Number of obs 259 289
Order est. (p) 2 2
Order bias (q) 3 3
BW est. (h) 6.112 6.078
Method T P > |T|
Robust -0.818 0.4134
P-values of binomial tests (H0: p=0.5).
Window Length / 2 <c >=c P>|T|
0.448 20 24 0.6516
0.896 41 41 1.0000
1.343 65 59 0.6536
1.791 89 79 0.4876
2.239 108 98 0.5307
2.687 129 116 0.4434
3.134 151 135 0.3751
3.582 168 163 0.8260
4.030 188 185 0.9175
4.478 200 204 0.8814
