| ID | D | X | Y | Y(0) | Y(1) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| 2 | 0 | 0 | -1 | -1 | 1 |
| 3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 |
| 4 | 1 | 0 | 4 | 2 | 4 |
| 5 | 1 | 0 | 5 | 3 | 5 |
| 6 | 1 | 0 | -1 | -3 | -1 |
| 7 | 1 | 0 | 0 | -2 | 0 |
| 8 | 1 | 0 | 1 | -1 | 1 |
| 9 | 1 | 0 | 2 | 0 | 2 |
| 10 | 1 | 0 | 3 | 1 | 3 |
| 11 | 0 | 1 | 4 | 4 | 6 |
| 12 | 0 | 1 | 5 | 5 | 7 |
| 13 | 0 | 1 | 1 | 1 | 3 |
| 14 | 0 | 1 | 0 | 0 | 2 |
| 15 | 0 | 1 | 2 | 2 | 4 |
| 16 | 0 | 1 | 3 | 3 | 5 |
| 17 | 0 | 1 | 6 | 6 | 8 |
| 18 | 1 | 1 | 4 | 2 | 4 |
| 19 | 1 | 1 | 5 | 3 | 5 |
| 20 | 1 | 1 | 6 | 4 | 6 |
社会科学における因果推論
6/ 回帰分析
最小二乗法の例
- 残差の二乗和は141.13（左）、58.82（中）、66.55（右）
- RMSEはそれぞれ3.76、2.43、2.85
誤差に関する仮定
- 回帰分析における誤差の仮定
- 誤差の期待値は0（\(\mathbb{E}[\varepsilon_i]\) = 0）
- 誤差と説明変数は独立（\(\textsf{Cov}(D, \varepsilon)\) = \(\mathbb{E}[D \times \varepsilon]\) = 0）
処置変数が内生変数の場合
- 誤差と説明変数は独立しない場合、\(\widehat{\tau}\)はバイアス付きのATT
- \(\textsf{Cov}(D, \varepsilon) \neq\) 0
- \(\mathbb{E}[D \times \varepsilon] \neq\) 0
交絡要因が既知の場合
- 観察済みの変数\(X\)が唯一の交絡要因ある場合
- 単回帰分析では\(X\)は\(\varepsilon\)の一部だったが、\(X\)が観察済みなら\(\varepsilon \rightarrow X\)のパスを消せる
- そのためには、内生性の原因である\(X\)を考慮したモデリングが必要
統制変数の役割
\(X_i = x\)における傾き（\(\tau\)）の推定
- ただし、\(X_i = x\)における傾きと\(X_i = x^{\prime}\)における傾きは同じと仮定1（\(x \neq x^{\prime}\)）
欠落変数バイアスの可視化（1）
職業訓練（D）は将来の年収（Y）にどのような影響を与えるか
- 負の効果?効果なし?内生性（自己選択）は?
欠落変数バイアスの可視化（2）
交絡要因として職業訓練前の年収（X）
- 職業訓練前の年収を考慮したモデル：実は正の効果があるかも?
処置後変数とは
処置後変数（post-treatment variable）
- XはDの処置後変数
- DがYに直接与える処置効果（直接効果）
- DがXを経由してYに与える処置効果（間接効果）
- 総効果 = 直接効果 + 間接効果
- 因果推論において主に注目するのは総効果
- この場合、Xを統制してはいけない
- 説明変数がDのみの単回帰分析を採用すべき
直接効果、間接効果、総効果
- 直接効果：\(\tau^p\)
-
間接効果：\(\lambda \times \beta^p\)
- Dが1単位上がると、Xが\(\lambda\)分増加するため
- 総効果：\(\tau^p + \lambda \beta^p\)
-
\(\widehat{y} = \beta_0 + \beta_1 D + \beta_2 X\)のモデル
- \(\beta_1\)：直接効果（\(\tau^p\)）
- \(\beta_2\)：間接効果の一部（\(\beta^p\)）
-
\(\widehat{y} = \beta_0 + \beta_1 D\)のモデル
- \(\beta_1\)：総効果（\(\tau^p + \lambda \beta^p\)）
DAG
有向非巡回グラフ（Directed acyclic graph, DAG）
- サイクルが存在しない有向グラフ（無向グラフは常にサイクルが存在）
- 右グラフはサイクルが存在（D \(\rightarrow\) Y \(\rightarrow\) X \(\rightarrow\) D \(\rightarrow\) Y \(\rightarrow\)…）
- ノード（点; node or vertex）とエッジ（線; edge）で構成
- 因果推論での活用（詳細はPearl et al. [2016=2019]などを参照）
バックドア経路
バックドア経路（backdoor path）：原因と結果（DとY）間のすべての経路中、原因（D）へ向かう矢印を含む経路
- ただし、\(D \rightarrow Y\)のパスを除く
- 左：バックドア経路が存在（D \(\leftarrow\) X \(\rightarrow\) W \(\rightarrow\) Y）
- 右：バックドア経路が存在しない
- D \(\rightarrow\) X \(\rightarrow\) W \(\rightarrow\) YはDへ向かう矢印を含まない
分岐点
分岐点（confounder）：原因（D）と結果（Y）両方にたどり着ける変数
- バックドア経路に分岐点が存在するとそのバックドア経路は「開いている」
- 左：開いたバックドア経路がある（D \(\leftarrow\) X \(\rightarrow\) W \(\rightarrow\) Y）
- 右：分岐点が存在しない
分岐点への対処
バックドア経路が開いている場合、バックドア経路上の変数をモデルに投入するとバックドア経路は閉ざされる
- 経路上の全変数を統制する必要はない
- バックドア経路さえ無くせば良い
- 経路上のすべての変数がなくても良い
- どのモデルでも\(\bigcirc\)
- Xのみ統制
- Wのみ統制
- XとW両方統制
- バックドア経路が開いたままだと、欠落変数バイアスが発生
合流点
合流点（collider）：原因（D）と結果（Y）両方からたどり着ける変数
- バックドア経路に合流点が存在するとそのバックドア経路は「閉じている」
- 左：バックドア経路が開いている（D \(\leftarrow\) X \(\rightarrow\) W \(\rightarrow\) Y）
- 右：バックドア経路が閉じている（経路上に合流点が存在する; D \(\rightarrow\) X \(\rightarrow\) W \(\leftarrow\) Y）
中間点（要検討）
中間点（mediator）：原因（D）から結果（Y）へ向かう経路上に存在する変数
- バックドア経路に中間点が存在するとそのバックドア経路は「閉じている」
- 左：バックドア経路が開いている（D \(\leftarrow\) X \(\rightarrow\) W \(\rightarrow\) Y）
- 右：バックドア経路が閉じている（経路上に中間点が存在する; D \(\rightarrow\) X \(\rightarrow\) W \(\rightarrow\) Y）
合流点・中間点への対処
合流点、中間点はいずれも処置後変数（処置後変数バイアスの原因）
- モデルに投入すると新しいバックドア経路が開く（右はXを統制した例）
- \(\Rightarrow\) 合流点と中間点はモデルに投入しない！
- \(\Rightarrow\) 合流点はそもそも「結果の結果」だから投入しない！
応用
分岐点を持つバックドア経路は計2つ
- D \(\leftarrow\) W \(\rightarrow\) V \(\rightarrow\) Y
- D \(\leftarrow\) X \(\rightarrow\) Y
- 2つの経路すべてを閉じる
- {W, X}か{V, X}、{W, V, X}を統制
交互作用とは
交互作用（Interaction）：D \(\rightarrow\) Yの影響がXの値に依存する
- 左：Xが交絡要因・分岐点（confounder）
- 右：Xが調整変数1（mediator）
交互作用の例
Dの処置効果がXに値によって異なる場合
-
不均一な処置効果（heterogeneous treatment effect）
- または条件付きATE（conditional average treatment effect; CATE）
- 例）薬の効き目が性別によって異なる
- 直線は単回帰分析に基づく回帰直線
重回帰分析との比較（図）
- 重回帰分析（左）：男女の傾きが同じ
- 交互作用モデル（右）：男女の傾きが異なる
予測値（左）と限界効果（右）
男性の場合、投薬量が1mg増えると体温は約0.02℃上がる。一方、女性の場合、統計的有意な処置効果は確認できない1。
統制変数の解釈について
基本的に統制変数の係数は解釈しない
信頼できる\(\tau\)を推定するために、交絡要因（分岐点）であるXを統制
- \(\tau\)：DがYに与える効果
-
\(\beta\)：XがYに与える効果?
- X \(\rightarrow\) Yの関係においてDは中間点（媒介変数）
- 中間点は統制しないのが原則
- XがYに与える効果を推定するためにはモデルからDを除外すべき