回帰分析の限界（ATTの例）
すべての因果推論は潜在的結果間の比較
\[
\tau_{\tiny \mbox{ATT}} = \mathbb{E}[Y_i(1) - Y_i(0) | D_i = 1]
\]
欠損している（=観察不可能）\(Y_i(0)\)を回帰分析を用いて代入（imputation）する
\[
\hat{\tau}_{\tiny \mbox{ATT}} = \mathbb{E}[Y_i(1) - \textcolor{red}{\widehat{Y_i}(0)} | D_i = 1]
\]
\(\hat{Y_i}(0)\)の推定方法
- 一般的にパラメトリックモデルが使われる \(\Rightarrow\) 回帰分析
- \(Y_i\)を\(\alpha + \beta_1 D_i + \beta_2 {X1}_i + \beta_3 {X2}_i + ...\)のような特定の関数で表現できると仮定し、切片と傾きを推定することで\(\hat{Y_i}(D_i = 0)\)を予測する
- 回帰分析に限らず、様々な手法が使える（ベイジアン、機械学習、最尤法、…）
- もし、モデルが間違ったら…? \(\leadsto\) 間違った処置効果の推定量が得られる
マッチングの考え方
正確マッチング（exact matching）の例1
- 例）\(i\)=4と7は処置有無を除く共変量の値が一致するため、お互い潜在的結果として使用可能
- 例）統制群の中に\(i\)=10と共変量が完全に一致する個体がないため、分析から除外
統制群
| 1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
| 2 |
0 |
3 |
1 |
3 |
| 3 |
0 |
2 |
0 |
2 |
| 4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
| 5 |
0 |
2 |
1 |
3 |
| 6 |
0 |
1 |
0 |
3 |
処置群
| 7 |
1 |
0 |
1 |
3 |
| 8 |
1 |
3 |
1 |
5 |
| 9 |
1 |
1 |
0 |
4 |
| 10 |
1 |
3 |
0 |
6 |
マッチングの例（ATT）
| 4-7 |
1 |
0 |
1 |
0 |
3 |
3 |
| 2-8 |
1 |
3 |
1 |
3 |
5 |
2 |
| 6-9 |
1 |
1 |
0 |
3 |
4 |
1 |
| 10 |
1 |
2 |
0 |
- |
6 |
- |
| ATT |
|
|
|
|
|
2 |
マッチングによる因果推論の考え方
| \(Y\)(👩) |
\(\leftarrow\) 比較 \(\rightarrow\) |
\(Y\)(👩) |
| ? |
\(\leftarrow\) 比較 \(\rightarrow\) |
\(Y\)(👩🏿) |
| \(Y\)(👩🏻) |
\(\leftarrow\) 比較 \(\rightarrow\) |
\(Y\)(👩🏻) |
| ? |
\(\leftarrow\) 比較 \(\rightarrow\) |
\(Y\)(👨🏼) |
| \(Y\)(👩🏽) |
\(\leftarrow\) 比較 \(\rightarrow\) |
\(Y\)(👩🏽) |
| \(Y\)(👨) |
\(\leftarrow\) 比較 \(\rightarrow\) |
\(Y\)(👨) |
回帰分析1
| \(Y\)(👩) |
\(\leftrightarrow\) |
\(Y\)(👩) |
| \(\widehat{Y}\)(👩🏿) |
\(\leftrightarrow\) |
\(Y\)(👩🏿) |
| \(Y\)(👩🏻) |
\(\leftrightarrow\) |
\(Y\)(👩🏻) |
| \(\widehat{Y}\)(👨🏼) |
\(\leftrightarrow\) |
\(Y\)(👨🏼) |
| \(Y\)(👩🏽) |
\(\leftrightarrow\) |
\(Y\)(👩🏽) |
| \(Y\)(👨) |
\(\leftrightarrow\) |
\(Y\)(👨) |
マッチング2
| \(Y\)(👩) |
\(\leftrightarrow\) |
\(Y\)(👩) |
|
|
\(Y\)(👩🏿) |
| \(Y\)(👩🏻) |
\(\leftrightarrow\) |
\(Y\)(👩🏻) |
|
|
\(Y\)(👨🏼) |
| \(Y\)(👩🏽) |
\(\leftrightarrow\) |
\(Y\)(👩🏽) |
| \(Y\)(👨) |
\(\leftrightarrow\) |
\(Y\)(👨) |
マッチングの限界
厳密にいえば正確マッチング（exact matching）の限界
次元の呪い
傾向スコア
\[
e_i(x) = \mbox{Pr}(D_i = 1 | X = x)
\]
最近傍マッチング・共変量調整でも使われるが、ここれでは省略（マッチングは付録に）
