社会科学における因果推論

7/ 傾向スコア

宋財泫（関西大学）

1 傾向スコア

回帰分析の限界（ATTの例）

すべての因果推論は潜在的結果間の比較

\[ \tau_{\tiny \mbox{ATT}} = \mathbb{E}[Y_i(1) - Y_i(0) | D_i = 1] \]

欠損している（=観察不可能）\(Y_i(0)\)を回帰分析を用いて代入（imputation）する

\[ \hat{\tau}_{\tiny \mbox{ATT}} = \mathbb{E}[Y_i(1) - \textcolor{red}{\widehat{Y_i}(0)} | D_i = 1] \]

\(\hat{Y_i}(0)\)の推定方法

• 一般的にパラメトリックモデルが使われる \(\Rightarrow\) 回帰分析
  • \(Y_i\)を\(\alpha + \beta_1 D_i + \beta_2 {X1}_i + \beta_3 {X2}_i + ...\)のような特定の関数で表現できると仮定し、切片と傾きを推定することで\(Y_i(D_i = 0)\)を予測する
  • 回帰分析に限らず、様々な手法が使える（ベイジアン、機械学習、最尤法、…）
• もし、モデルが間違ったら…? \(\leadsto\) 間違った処置効果の推定量が得られる

マッチングの考え方

正確マッチング（exact matching）の例¹

• 例）\(i\)=4と7は処置有無を除く共変量の値が一致するため、お互い潜在的結果として使用可能
• 例）統制群の中に\(i\)=10と共変量が完全に一致する個体がないため、分析から除外

統制群

\(i\)	\(D\)	\(X1\)	\(X2\)	\(Y\)
1	0	1	1	0
2	0	3	1	3
3	0	2	0	2
4	0	0	1	0
5	0	2	1	3
6	0	1	0	3

処置群

\(i\)	\(D\)	\(X1\)	\(X2\)	\(Y\)
7	1	0	1	3
8	1	3	1	5
9	1	1	0	4
10	1	3	0	6

マッチングの例（ATT）

\(i\)	\(D\)	\(X1\)	\(X2\)	\(Y(0)\)	\(Y(1)\)	ITE
7 vs. 4	1	0	1	0	3	3
8 vs. 2	1	3	1	3	5	2
9 vs. 6	1	1	0	3	4	1
10	1	2	0	?	6	?
ATT						2

1. 「厳格マッチング」と訳されることもある。

マッチングによる因果推論の考え方

統制群	vs	処置群
\(Y\)(👩)	\(\leftarrow\) 比較 \(\rightarrow\)	\(Y\)(👩)
?	\(\leftarrow\) 比較 \(\rightarrow\)	\(Y\)(👩🏿)
\(Y\)(👩🏻)	\(\leftarrow\) 比較 \(\rightarrow\)	\(Y\)(👩🏻)
?	\(\leftarrow\) 比較 \(\rightarrow\)	\(Y\)(👨🏼)
\(Y\)(👩🏽)	\(\leftarrow\) 比較 \(\rightarrow\)	\(Y\)(👩🏽)
\(Y\)(👨)	\(\leftarrow\) 比較 \(\rightarrow\)	\(Y\)(👨)

回帰分析¹

統制群	vs	処置群
\(Y\)(👩)	\(\leftrightarrow\)	\(Y\)(👩)
\(\widehat{Y}\)(👩🏿)	\(\leftrightarrow\)	\(Y\)(👩🏿)
\(Y\)(👩🏻)	\(\leftrightarrow\)	\(Y\)(👩🏻)
\(\widehat{Y}\)(👨🏼)	\(\leftrightarrow\)	\(Y\)(👨🏼)
\(Y\)(👩🏽)	\(\leftrightarrow\)	\(Y\)(👩🏽)
\(Y\)(👨)	\(\leftrightarrow\)	\(Y\)(👨)

マッチング²

統制群	vs	処置群
\(Y\)(👩)	\(\leftrightarrow\)	\(Y\)(👩)
		\(Y\)(👩🏿)
\(Y\)(👩🏻)	\(\leftrightarrow\)	\(Y\)(👩🏻)
		\(Y\)(👨🏼)
\(Y\)(👩🏽)	\(\leftrightarrow\)	\(Y\)(👩🏽)
\(Y\)(👨)	\(\leftrightarrow\)	\(Y\)(👨)

1. 厳密にいえば比較可能なペアであっても予測値ベースの比較が行われる

2. 正確マッチングの場合

マッチングの限界

• 共変量が取り得る値が多い（連続変数など）、または複数の場合、マッチングされず分析から除外されるケースが急増¹
  • 例1）「男性 & 大卒 & 大阪府居住」
  • 例2）「男性 & 176.5cm & 大学院卒 & 年収 352万円 & 吹田市居住 & 韓国人」
  • \(\Rightarrow\) 次元の呪い
• 妥協案
  • 共変量が一致するのではなく、類似したケース同士で比較
    • \(\Rightarrow\) 最近傍マッチング（nearest neighbor matching）
  • 共変量ではなく、処置を受ける確率がほぼ同じケース同士で比較
    • 処置を受ける確率 = 傾向スコア

1. 厳密にいえば正確マッチングの限界

傾向スコア

\[ e_i(x) = \mbox{Pr}(D_i = 1 | X = x) \]

最近傍マッチング・共変量調整でも使われるが、ここれでは省略（マッチングは付録に）

2 仮定

条件付（平均）独立

共有サポート

共有サポート（common support）

サポートは「台」とも訳される

3 推定：層化

4 推定：重み付け

5 実装例